Топологическая теория балки (ТТБ)

Идея связи деформации и усилия восходит к Галилею (1638), который впервые рассмотрел удлинение стержня под нагрузкой, и к Гуку (1678), сформулировавшему основной закон упругости. На этом фундаменте Якоб Бернулли (1694), один из создателей науки о сопротивлении материалов, впервые поставил задачу об упругой линии — стремясь распространить законы продольного растяжения на изгиб. Однако отсутствие замкнутой геометрической связи между кривизной и внутренними силами не позволило ему завершить по-строение теории. Эйлер (1744), развивая идеи Бернулли, предложил вариационный принцип минимизации кривизны, но ввел два ключевых допущения — неизменность горизонтальной проекции и малость углов — что привело к классической линейной теории Эйлера – Бернулли. Эти приближения исключили продольные деформации из энергетического баланса и породили скрытую индуцированную продольную силу, не представленную в функционале энергии. В настоящей работе предложена Топологическая теория балки (ТТБ) — первая геометрически строгая модель изгиба, опирающаяся на естественную дуговую координату и точное определение кривизны Гюйгенса. Модель включает продольные деформации в вариационный принцип, вводит топологический модификатор кривизны 1/(1 + N/EA) и приводит к замкнутой системе уравнений для угла по-ворота, продольной силы и изгибающего момента. Таким образом, работа завершает линию, начатую Галилеем, Гуком, Бернулли и Эйлером: через 330 лет после постановки задачи Якобом Бернулли впервые получено полное строгое решение об упругой линии, учитывающее и изгиб, и продольные деформации в единой энергетически согласованной топологической модели.

1. Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых наук. Лейден : Изд. Лодевейка Эльзевира, 1638. 300 с.

2. Гук Р. О восстанавливающей силе, или о свойствах упругих. Лондон : John Martyn, 1678. 56 с.

3. Гюйгенс Х. Колебательные часы, или геометрические доказательства о движении маятников, примененном к часам. Париж : F. Muguet, 1673. 160 с.

4. Бернулли Я. Кривизна упругой пластины. Ее идентичность с кривизной полотна, натянутого под действием веса. Радиусы кругов касания, выраженные в простейших терминах, вместе с некоторыми новыми теоремами, относящимися к этому вопросу // Acta Eruditorum. 1694. С. 262–276.

5. Бернулли Я. Решение задачи Лейбница о кривой с равными приближениями и отступлениями от заданной точки посредством выпрямления упругой кривой // Acta Eruditorum. 1694. С. 276–280.

6. Бернулли Я. Истинная гипотеза сопротивления твердых тел с доказательством кривизны тел, обладающих упругостью // История Королевской академии наук Парижа. 1705. С. 139–150.

7. Бернулли Я. Построение кривой с равными приближениями и отступлениями, с использованием выпрямления некоторой алгебраической кривой: дополнение к недавно опубликованному решению за июнь // Собрание сочинений Якоба Бернулли. Т. 1. Лозанна; Женева : Марк-Мишель Буске, 1744. С. 608–612.

8. Бернулли Д. Размышления и пояснения о новых колебаниях струн, изложенные в мемуарах Академии за 1747 и 1748 годы // История Королевской академии наук и изящной словесности Берлина с мемуарами за тот же год, взятыми из регистров этой академии. Берлин : Королевская академия наук и изящной словесности. Т. 9. С. 147–172.

9. Бернулли Д. О смешении нескольких видов простых изохронных колебаний, которые могут сосуществовать в одной и той же системе тел // История Королевской академии наук и изящной словесности Берлина с мемуарами за тот же год, взятыми из регистров этой академии. Берлин : Королевская академия наук и изящной словесности, 1753. Т. 9. С. 173–195.

10. Бернулли Д. Письмо № 15 к Л. Эйлеру от 24 мая 1738 г. под ред. П.Н. Фусса. СПб. : Императорская Академия наук, 1843. Т. 2. С. 446–448.

11. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Лозанна; Женева : Марк-Мишель Буске, 1744.

12. Нещадимов В.А. Обобщенная теория балки Эйлера – Бернулли с возвратным потенциалом // Железобетонные конструкции. 2025. Т. 10. № 2. С. 34–50. DOI: 10.22227/2949-1622.2025.2.41-57

13. Навье К.-Л.-М.-А. Краткое изложение лекций, прочитанных в Школе мостов и дорог по применению механики к сооружению конструкций и машин. Париж : Фирмен Дидо, 1826. 500 с.

14. Френе Ж.Ф. О кривых двойной кривизны // Журнал чистой и прикладной математики. 1847. Т. 17. С. 437–447.

15. Лагранж Ж.-Л. Аналитическая механика. Париж : Вев. Десан, 1788. 512 с.

16. Гамильтон У.Р. Об общем методе в динамике // Труды Лондонского королевского общества. 1834. Т. 124. С. 247–308.