Обобщенная теория балки Эйлера – Бернулли с возвратным потенциалом

В 1749 г. Л. Эйлер, опираясь на идеи Якоба и Даниила Бернулли, сформулировал теорию балки в точной постановке с гипотезой плоских сечений. Позднее П.-С. Жирар линеаризовал кривизну, упростив получение аналитических решений, а Б.П.Э. Клапейрон выразил ее через производные функции прогиба. В результате модель Эйлера ± Бернулли разделилась на два класса: линейную (классическую) постановку с кривизной Жирара и так называемую "точную" геометрически нелинейную постановку с кривизной Эйлера – Клапейрона. В настоящей работе показано, что класс геометрически нелинейных задач является методологическим заблуждением. Функция y(x), традиционно интерпретируемая как прогиб, представляет собой развертку топологического пространства на плоскость в декартовой системе и отображает расстояние от топологической абсциссы до нейтральной оси деформированной балки. Начальный участок абсциссы близок к прямолинейному, что оправдывает использование классической модели при малых деформациях. Однако при больших деформациях даже "точная" формула кривизны оказывается некорректной. Введен новый силовой фактор — возвратный потенциал P, который замыкает систему уравнений и связывает углы поворота с внешней поперечной нагрузкой. Обобщение теории балки в прямолинейной и криволинейной (топологической) системах координат с обобщенной переменной i позволило установить глубокую связь между этими расчетными пространствами и восстанавливать точную геометрию балки на основе классических решений Эйлера ± Бернулли. Таким образом, работа завершает фундаментальную задачу Якоба Бернулли (1694), в которой линейность и гипотеза плоских сечений сохраняются на всем диапазоне упругой работы.

1. Бернулли Я. Кривизна упругой пластины. Ее идентичность с кривизной полотна, натянутого под действием веса. Радиусы кругов касания, выраженные в простейших терминах, вместе с некоторыми новыми теоремами, относящимися к этому вопросу // Acta Eruditorum. 1694. С. 262±276.

2. Бернулли Я. Решение задачи Лейбница о кривой с равными приближениями и отступлениями от заданной точки посредством выпрямления упругой кривой // Acta Eruditorum. 1694. С. 276±280.

3. Бернулли Я. Истинная гипотеза сопротивления твердых тел с доказательством кривизны тел, обладающих упругостью // История Королевской академии наук Парижа. 1705 (посмертное изд.). С. 139±150.

4. Бернулли Я. Построение кривой с равными приближениями и отступлениями, с использованием выпрямления некоторой алгебраической кривой: дополнение к недавно опубликованному решению за июнь // Собрание сочинений Якоба Бернулли. Т. 1. Лозанна; Женева : Марк-Мишель Буске, 1744 (посмертное изд.). С. 608±612.

5. Бернулли Д. Размышления и пояснения о новых колебаниях струн, изложенные в мемуарах Академии за 1747 и 1748 годы // История Королевской академии наук и изящной словесности Берлина с мемуарами за тот же год, взятыми из регистров этой академии. Берлин : Королевская академия наук и изящной словесности, 1753 (опубл. в 1755). Т. 9. С. 147±172.

6. Бернулли Д. О смешении нескольких видов простых изохронных колебаний, которые могут сосуществовать в одной и той же системе тел // История Королевской академии наук и изящной словесности Берлина с мемуарами за тот же год, взятыми из регистров этой академии. Берлин : Королевская академия наук и изящной словесности, 1753 (опубл. в 1755). Т. 9. С. 173±195.

7. Бернулли Д. Письмо № 15 к Л. Эйлеру от 24 мая 1738 г. // Переписка по математике и физике некоторых знаменитых геометров XVIII века / под ред. П.Н. Фусса. СПб. : Императорская Академия наук, 1843. Т. 2. С. 446±448.

8. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Лозанна; Женева : Марк-Мишель Буске, 1744.

9. Жирар П.С. Аналитическое исследование сопротивления твердых тел и тел равной прочности, с приложением ряда новых опытов о прочности и упругости древесины дуба и пихты. Париж : Фирмен Дидо; Дюпон, 1798. 48 с.

10. Тодхантер И. История теории упругости и сопротивления материалов: от Галилея до настоящего времени. Т. 1: От Галилея до Сен-Венана (1639±1850) / под ред. К. Пирсона. Лондон : Cambridge University Press, 1886. 950 с.

11. Навье К.-Л.-М.-А. Краткое изложение лекций, прочитанных в Школе мостов и дорог по применению механики к сооружению конструкций и машин. Париж : Фирмен Дидо, 1826. 500 с.

12. Клапейрон Б.П.Э. Внутреннее сопротивление твердых тел // Журнал Политехнической школы. 1857. Т. 24. С. 1±233.

13. Френе Ж.Ф. О кривых двойной кривизны // Журнал чистой и прикладной математики. 1847. Т. 17. С. 437±447.

14. Тимошенко С.П. О поправке на сдвиг в дифференциальном уравнении поперечных колебаний призматических стержней// The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 1921. Т. 41 № 245. С. 744±746. DOI: 10.1080/14786442108636264

15. Тимошенко С.П. О поперечных колебаниях стержней постоянного поперечного сечения // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 1922. Т. 43. № 253. С. 125±131. DOI: 10.1080/14786442208633855